Dada a função g(x,y,z) = xy + yz + zx, assinale a alternativa que contenha sua derivada direcional no ponto P0 = (1, -1, 2) e na direção A = 3i + 6...

Para encontrar a derivada direcional da função g(x, y, z) = xy + yz + zx no ponto P0 = (1, -1, 2) e na direção A = 3i + 6j - 2k, podemos usar a fórmula: Dg(P0, A) = ∇g(P0) · A Primeiro, vamos calcular o gradiente de g(x, y, z): ∇g(x, y, z) = (∂g/∂x, ∂g/∂y, ∂g/∂z) Calculando as derivadas parciais: ∂g/∂x = y + z ∂g/∂y = x + z ∂g/∂z = y + x Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto P0 = (1, -1, 2) nas derivadas parciais: ∂g/∂x(P0) = -1 + 2 = 1 ∂g/∂y(P0) = 1 + 2 = 3 ∂g/∂z(P0) = -1 + 1 = 0 Portanto, o gradiente de g(P0) = (1, 3, 0). Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e a direção A: ∇g(P0) · A = (1, 3, 0) · (3, 6, -2) = 1 * 3 + 3 * 6 + 0 * (-2) = 3 + 18 + 0 = 21 Portanto, a derivada direcional de g no ponto P0 = (1, -1, 2) e na direção A = 3i + 6j - 2k é igual a 21. Assim, a alternativa correta seria aquela que contém o valor 21 como resposta.