11. (Efomm 2016) A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é a) 40320. b) 38160. c) 37920. d) 7200. e) 3600.

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Princípio da Casa dos Pombos. Primeiro, vamos dispor as consoantes da palavra MERCANTE: M, R, C, N, T. Podemos perceber que existem 5 espaços entre as consoantes onde podemos inserir as vogais E e A, sem que elas fiquem juntas. Assim, temos 6 espaços para colocar as vogais, sendo que em 5 deles podemos colocar tanto E quanto A, e em 1 deles só podemos colocar E. Logo, temos 5 espaços onde podemos colocar duas vogais (E e A), e 1 espaço onde podemos colocar apenas uma vogal (E). Para calcular a quantidade de anagramas, basta calcularmos o número de possibilidades de colocar as vogais nesses espaços. Para os espaços onde podemos colocar duas vogais, temos 5 opções para a primeira vogal e 4 opções para a segunda vogal (pois não podemos repetir a mesma vogal). Assim, temos 5x4 = 20 possibilidades para cada um desses espaços. Para o espaço onde só podemos colocar uma vogal, temos apenas 2 opções (E ou A). Logo, a quantidade total de anagramas é dada por: 5x4x20x20x20x2 = 3.792.000 No entanto, essa quantidade inclui anagramas com vogais juntas. Precisamos subtrair a quantidade de anagramas que possuem vogais juntas. Para isso, vamos calcular a quantidade de anagramas que possuem as vogais E e A juntas. Podemos considerar essas duas vogais como uma só, formando a letra X. Assim, temos 5 espaços onde podemos colocar a letra X, e 4 espaços onde podemos colocar a outra vogal (T, N, R ou M). Para os espaços onde podemos colocar a letra X, temos 5 opções. Para os espaços onde podemos colocar a outra vogal, temos 4 opções. Logo, a quantidade de anagramas com as vogais E e A juntas é dada por: 5x4x4x4x4x1 = 1280 Assim, a quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é: 3.792.000 - 1280 = 3.790.720 Portanto, a alternativa correta é a letra C) 3.7920.