35) (ITA-1998) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: a) 12! b) 8!.5! c) 12! - 8!.5! d) 12!...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Inclusão-Exclusão. Primeiro, vamos calcular o número total de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que é dado por 12!, já que a palavra tem 12 letras. Agora, vamos calcular o número de anagramas que apresentam as cinco vogais juntas. Podemos considerar as cinco vogais como um único bloco e permutar esse bloco com as outras sete letras. Temos então 8! maneiras de permutar essas oito letras (o bloco das cinco vogais e as outras sete letras). No entanto, dentro desse bloco das cinco vogais, as vogais podem ser permutadas entre si de 5! maneiras. Portanto, o número de anagramas que apresentam as cinco vogais juntas é dado por 8! × 5!. No entanto, esse cálculo conta algumas sequências mais de uma vez. Por exemplo, a sequência AEIOU pode ser contada de várias maneiras: A_EIOU, AE_IOU, AEI_OU, AEIO_U e AEIOU_. Portanto, precisamos subtrair o número de anagramas que apresentam duas sequências de vogais juntas. Existem 6 sequências de duas vogais juntas (EI, EU, IO, OU, AI e OI). Podemos considerar cada uma dessas sequências como um bloco e permutar esses blocos com as outras letras. Temos então 7! maneiras de permutar esses blocos e as outras letras. No entanto, dentro de cada bloco, as vogais podem ser permutadas entre si de 2! maneiras. Portanto, o número de anagramas que apresentam duas sequências de vogais juntas é dado por 6 × 7! × 2!. No entanto, esse cálculo subtraiu demais algumas sequências. Por exemplo, a sequência AEI pode ser contada duas vezes: AEI_OU e O_AEIU. Portanto, precisamos adicionar o número de anagramas que apresentam três sequências de vogais juntas. Existem 4 sequências de três vogais juntas (EIO, EUO, AEI e OUA). Podemos considerar cada uma dessas sequências como um bloco e permutar esses blocos com as outras letras. Temos então 6! maneiras de permutar esses blocos e as outras letras. No entanto, dentro de cada bloco, as vogais podem ser permutadas entre si de 3! maneiras. Portanto, o número de anagramas que apresentam três sequências de vogais juntas é dado por 4 × 6! × 3!. No entanto, esse cálculo adicionou demais algumas sequências. Por exemplo, a sequência AEI pode ser contada três vezes: AEI_OUA, O_AEIU e UO_AEI. Portanto, precisamos subtrair o número de anagramas que apresentam quatro sequências de vogais juntas. Existem 2 sequências de quatro vogais juntas (EIOU e AEIO). Podemos considerar cada uma dessas sequências como um bloco e permutar esses blocos com as outras letras. Temos então 5! maneiras de permutar esses blocos e as outras letras. No entanto, dentro de cada bloco, as vogais podem ser permutadas entre si de 4! maneiras. Portanto, o número de anagramas que apresentam quatro sequências de vogais juntas é dado por 2 × 5! × 4!. Finalmente, o número de anagramas da palavra VESTIBULANDO que não apresentam as cinco vogais juntas é dado por: 12! - 8! × 5! + 6 × 7! × 2! - 4 × 6! × 3! + 2 × 5! × 4! = 12! - 8! × 5! Portanto, a alternativa correta é a letra b) 8!.5!.