Uma moeda, com probabilidade 1/3 de dar cara, é lançada 40 vezes. (a) Explique por que a probabilidade pk de se obter k caras nos 40 lançamentos é ...

(a) A probabilidade de se obter k caras em 40 lançamentos de uma moeda com probabilidade 1/3 de dar cara é dada por pk = C40,k * (1/3)^k * (2/3)^(40-k), onde C40,k é o coeficiente binomial que representa o número de maneiras de escolher k objetos de um conjunto de 40 objetos. A probabilidade de se obter k caras é dada pelo produto da probabilidade de se obter k caras e (40-k) coroas, que é (1/3)^k * (2/3)^(40-k), pelo número de maneiras de escolher k objetos de um conjunto de 40 objetos, que é C40,k. (b) Para calcular os valores de k para os quais pk+1 > pk, basta calcular a razão entre as probabilidades pk+1 e pk, ou seja, (pk+1/pk) = [(40-k)/(k+1)]*(1/3)/(2/3). Igualando essa razão a 1, temos [(40-k)/(k+1)]*(1/3)/(2/3) = 1, o que resulta em (40-k)/(k+1) = 2. Resolvendo essa equação, obtemos k = 12 ou k = 13. Portanto, para k = 12 ou k = 13, temos pk+1 > pk. (c) Para obter o valor de k para o qual a probabilidade de se obter k caras é máxima, basta calcular as probabilidades para k = 0, 1, 2, ..., 40 e encontrar o valor de k que corresponde à maior probabilidade. Podemos fazer isso usando a fórmula pk = C40,k * (1/3)^k * (2/3)^(40-k). Ao calcular as probabilidades para cada valor de k, encontramos que a probabilidade máxima ocorre quando k = 13. Portanto, a probabilidade de se obter 13 caras em 40 lançamentos é a maior possível.