4. Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por: { 3 x− x2 se −1 6 x < 1 ||x− 2| − 1| se 1 6 x 6 5 (a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação...

(a) Para esboçar o gráfico da função p, podemos dividir em duas partes: para x entre -1 e 1, a função é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (1,2). Para x entre 1 e 5, a função é uma função modular com mínimo em (2, -1) e máximo em (5, 4). (b) Para encontrar as soluções reais da equação p(x) = 2, podemos resolver as equações 3x - x² = 2 e |x - 2| - 1 = 2. A primeira equação pode ser reescrita como x² - 3x + 2 = 0, que tem como soluções x = 1 e x = 2. A segunda equação pode ser reescrita como |x - 2| = 3, que tem como soluções x = -1 e x = 5. Portanto, as soluções reais da equação p(x) = 2 são x = -1, x = 1, x = 2 e x = 5. (c) Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de p, podemos derivar a função e igualar a zero. Temos que p'(x) = 3 - 2x para -1 < x < 1 e p'(x) = 2(x-2)/|x-2| para 1 < x < 5. Para -1 < x < 1, a derivada é positiva para x < 3/2 e negativa para x > 3/2, o que indica que a função tem um máximo local em x = 3/2. Para 1 < x < 2, a derivada é positiva, o que indica que a função está crescendo. Para 2 < x < 5, a derivada é negativa, o que indica que a função está decrescendo. Portanto, o ponto (2, -1) é um mínimo local e o ponto (5, 4) é um máximo local. Como a função é contínua em [−1, 5], os pontos de máximo e mínimo absolutos são os pontos de máximo e mínimo locais ou os extremos do intervalo. Portanto, o ponto (-1, 4) é o máximo absoluto e o ponto (5, 4) é o mínimo absoluto. (d) Para esboçar o gráfico da função q, podemos substituir x por (y-1)/2 na função p. Temos que q(y) = p(2(y-1)/2 + 1) - 2 = p(y) - 2. Portanto, o gráfico de q é o gráfico de p deslocado 2 unidades para baixo. O domínio de q é [-1, 2].