Quando dividimos a soma 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! Por 15, qual é o resto? Quando dividimos a soma 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! Por 15, qual ...

Para resolver essa questão, precisamos calcular a soma dos fatoriais de 1 a 50 e depois encontrar o resto da divisão por 15. Podemos observar que 5! = 120 é divisível por 15, assim como 10!, 15!, 20!, 25!, 30!, 35!, 40!, 45! e 50!. Portanto, podemos agrupar esses fatoriais e escrever a soma como: 1! + 2! + 3! + 4! + (5! + 6! + 7! + 8! + 9!) + (10! + 11! + 12! + 13! + 14!) + (15! + 16! + 17! + 18! + 19!) + (20! + 21! + 22! + 23! + 24!) + (25! + 26! + 27! + 28! + 29!) + (30! + 31! + 32! + 33! + 34!) + (35! + 36! + 37! + 38! + 39!) + (40! + 41! + 42! + 43! + 44!) + (45! + 46! + 47! + 48! + 49! + 50!) Note que cada um desses grupos é divisível por 15, exceto o primeiro. Podemos calcular o resto da divisão da soma dos fatoriais de 1 a 4 por 15: 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 33 mod 15 = 3 Agora, podemos calcular o resto da divisão da soma dos outros grupos por 15: (5! + 6! + 7! + 8! + 9!) mod 15 = (120 + 720 + 5040 + 40320 + 362880) mod 15 = 0 (10! + 11! + 12! + 13! + 14!) mod 15 = (3628800 + 39916800 + 479001600 + 6227020800 + 87178291200) mod 15 = 0 (15! + 16! + 17! + 18! + 19!) mod 15 = (1307674368000 + 20922789888000 + 355687428096000 + 6402373705728000 + 121645100408832000) mod 15 = 0 (20! + 21! + 22! + 23! + 24!) mod 15 = (2432902008176640000 + 51090942171709440000 + 1124000727777607680000 + 25852016738884976640000 + 620448401733239439360000) mod 15 = 0 (25! + 26! + 27! + 28! + 29!) mod 15 = (15511210043330985984000000 + 403291461126605635584000000 + 10888869450418352160768000000 + 304888344611713860501504000000 + 8841761993739701954543616000000) mod 15 = 0 (30! + 31! + 32! + 33! + 34!) mod 15 = (265252859812191058636308480000000 + 8222838654177922817725562880000000 + 263130836933693530167218012160000000 + 8683317618811886495518194401280000000 + 295232799039604140847618609643520000000) mod 15 = 0 (35! + 36! + 37! + 38! + 39!) mod 15 = (103331479663861449296666513375232000000 + 3719933267899012174679994481508352000000 + 137637530912263450463159795815809024000000 + 5230226174666011117600072241000742912000000 + 203978820811974433586402817399028973568000000) mod 15 = 0 (40! + 41! + 42! + 43! + 44!) mod 15 = (8159152832478977343456112695961158942720000000 + 334525266131638071081700620534407516651520000000 + 14050061177528798985431426062445115699363840000000 + 604152630633738356373551320685139975072645120000000 + 26582715747884487680436258110146158903196385280000000) mod 15 = 0 (45! + 46! + 47! + 48! + 49! + 50!) mod 15 = (1196222208654801945619631614956577150643837337600000000 + 55026221598120889498503054288002548929616517529600000000 + 2586232415111681806429643551536119799691976323891200000000 + 124139155925360726708622890473733750385214863546777600000000 + 6082818640342675608722521633212953768875528313792102400000000 + 304140932017133780436126081660647688443776415689605120000000) mod 15 = 0 Portanto, o resto da divisão da soma dos fatoriais de 1 a 50 por 15 é: 3 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3 Logo, a resposta é 3.