O Teorema das Três Perpendiculares tem o seguinte enunciado: “A reta r é perpendicular ao plano α no ponto A. A reta s está contida em α e não ...

a) A figura que descreve o enunciado do Teorema das Três Perpendiculares é a seguinte:  b) Demonstração do Teorema das Três Perpendiculares: Seja P um ponto qualquer da reta r e seja C a interseção da reta r com o plano α. Como r é perpendicular a α no ponto A, então a reta r é perpendicular a qualquer reta contida em α que passe por A. Em particular, a reta s é perpendicular a r no ponto B. Seja Q um ponto qualquer da reta s. Como AB é perpendicular a s, então AB é perpendicular a qualquer reta contida em α que passe por Q. Em particular, AB é perpendicular a PQ, onde PQ é a reta que passa por Q e é paralela a r. Seja M a interseção da reta PQ com o plano α. Como PQ é paralela a r, então MC é perpendicular a r. Como AB é perpendicular a PQ, então AB é perpendicular a MC. Portanto, AB é perpendicular a qualquer reta contida em α que passe por M. Seja N um ponto qualquer da reta r. Como AB é perpendicular a qualquer reta contida em α que passe por N, então AB é perpendicular a MN, onde MN é a reta que passa por N e é paralela a s. Assim, temos que AB é perpendicular a PQ, MC e MN. Como PQ, MC e MN são retas concorrentes em B, então AB é perpendicular ao plano que contém essas retas. Mas esse plano é o plano que contém as retas r, s e AB. Portanto, PB é perpendicular a s.