(1,0) (a) Descreva os números naturais que possuem 15 divisores naturais. a) Números da forma p^2q^4, com p e q primos distintos. b) Números da fo...

A alternativa correta é a letra A) Números da forma p^2q^4, com p e q primos distintos. Para entender por que essa é a resposta correta, podemos usar a fórmula que relaciona o número de divisores de um número com a sua fatoração em primos. Se um número n é escrito como o produto de potências distintas de primos, então o número de divisores de n é dado por: d(n) = (e1 + 1)(e2 + 1)...(ek + 1) onde e1, e2, ..., ek são os expoentes das potências de primos que aparecem na fatoração de n. No caso em questão, queremos encontrar números que tenham exatamente 15 divisores. Isso significa que a fatoração em primos desses números deve ter a forma: n = p^a * q^b onde p e q são primos distintos e a e b são inteiros positivos. Além disso, devemos ter: (d(n) - 1) = (a + 1)(b + 1) = 14 As possibilidades para (a + 1) e (b + 1) são: a + 1 = 2, b + 1 = 7 a + 1 = 7, b + 1 = 2 A primeira possibilidade leva a n = p^2 * q^6, que tem 21 divisores, e a segunda possibilidade leva a n = p^6 * q^2, que tem 21 divisores. Portanto, a única possibilidade que funciona é a letra A), n = p^2 * q^4.