Dadas a reta de equação y = x^3/3 e a circunferência de equação x^2 + y^2 - 4x = 0. A área do triângulo determinado pelo centro da circunferência e...

Para encontrar a área do triângulo, precisamos primeiro encontrar os pontos de intersecção entre a reta e a circunferência. Substituindo y na equação da circunferência, temos: x^2 + (x^3/3)^2 - 4x = 0 x^6/9 + x^2 - 4x = 0 x^6 + 9x^4 - 36x^3 = 0 x^3(x - 3)(x^3 + 9x^2) = 0 Portanto, temos três valores possíveis para x: 0, 3 e -3i. Substituindo esses valores na equação da reta, encontramos os pontos de intersecção: (0, 0) (3, 9/3) (-3i, -3i^3/3) Simplificando, temos: (0, 0) (3, 3) (3i, -3i) Agora, podemos calcular a distância entre os pontos (0, 0) e (3, 3) para encontrar a base do triângulo: d = √[(3 - 0)^2 + (3 - 0)^2] = √18 A altura do triângulo é a distância entre o ponto médio da base e o centro da circunferência. O ponto médio da base é (1.5, 1.5), e o centro da circunferência é (2, 0). Portanto, a altura é: h = |0 - 1.5| = 1.5 A área do triângulo é d x h / 2: A = (√18 x 1.5) / 2 = 3√2 Portanto, a resposta correta é a alternativa c) 3√3.