921. A soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades senx = m/(1+m) e cosx = m/(2m+1) é: a) 5 b) 6 c) 4 d) -4 e) -6

Para resolver esse problema, podemos usar a identidade fundamental da trigonometria: sen²x + cos²x = 1. Substituindo as igualdades dadas, temos: (m/(1+m))² + (m/(2m+1))² = 1 Simplificando essa equação, obtemos: m⁴ + 3m³ - 3m² - 5m + 1 = 0 Podemos fatorar essa equação para obter as raízes: (m-1)(m+1)(m²+3m-1) = 0 As raízes são m = -1, m = 1 e m = (-3 + √13)/2 e m = (-3 - √13)/2. Agora, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem ambas as igualdades. Podemos usar a relação fundamental da trigonometria: tan²x + 1 = sec²x Substituindo as igualdades dadas, temos: (m/(1+m))² + 1 = (1/(1+m))² Simplificando essa equação, obtemos: m² + 2m - 1 = 0 As raízes são m = (-2 + √2) e m = (-2 - √2). Podemos usar a relação senx/cosx = tanx para encontrar os valores de x que satisfazem ambas as igualdades. Substituindo as igualdades dadas, temos: senx/cosx = m/(1+m) cosx/senx = (2m+1)/m Multiplicando essas duas equações, obtemos: cos²x = (2m+1)/(1+m) Substituindo a igualdade de cosx dada, temos: cos²x = m/(2m+1) Igualando as duas expressões para cos²x, obtemos: m/(2m+1) = (2m+1)/(1+m) Resolvendo essa equação, obtemos: m² + 3m - 1 = 0 As raízes são m = (-3 + √13)/2 e m = (-3 - √13)/2. Portanto, a única raiz que satisfaz todas as igualdades é m = (-3 + √13)/2. A soma dos valores de m é -1 + 1 + (-3 + √13)/2 + (-3 - √13)/2 = -6. Portanto, a resposta correta é a letra E).