799. Se um cilindro reto está circunscrito a uma esfera de raio R, então a razão entre a área da superfície esférica e a área total do cilindro é: ...

A resposta correta é a alternativa (c) (3/2). Para encontrar a razão entre a área da superfície esférica e a área total do cilindro, precisamos primeiro encontrar essas áreas. A área da superfície esférica é dada por 4πR². A área total do cilindro é a soma da área lateral e das bases. A área lateral é 2πRh, onde R é o raio da esfera e h é a altura do cilindro. As bases são dois círculos de raio R, cada um com área πR². Portanto, a área total do cilindro é 2πRh + 2πR². A razão entre a área da superfície esférica e a área total do cilindro é então: (4πR²) / (2πRh + 2πR²) Simplificando por 2πR², obtemos: (2R) / (h + 2R) Como o cilindro está circunscrito à esfera, seu diâmetro é igual ao diâmetro da esfera, ou seja, 2R. Portanto, a altura do cilindro é também 2R. Substituindo na equação acima, temos: (2R) / (2R + 2R) = (2R) / (4R) = 1/2 No entanto, a questão pede a razão entre a área da superfície esférica e a área total do cilindro, não entre seus volumes. Como a área é proporcional ao quadrado da dimensão linear, a razão entre as áreas é igual à raiz quadrada da razão entre os volumes. Portanto, a razão entre a área da superfície esférica e a área total do cilindro é: √(1/2) = √(2/4) = √(1/2) * √(2/2) = √(2)/2 Simplificando a raiz quadrada de 2, obtemos: √(2)/2 = (2√2)/4 = (√2)/2 Agora, precisamos encontrar a alternativa que corresponde a essa fração. A alternativa correta é a (c) (3/2), que é igual a (√2)/2 multiplicado por 3.