57. UFPB O ângulo, sob o qual um observador vê o topo de um prédio de 88 m de altura, duplica quando esse observador se aproxima 110 m do prédio, e...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a seguinte relação trigonométrica: tg(α) = altura do prédio / distância do observador ao prédio Onde α é o ângulo formado entre a linha de visão do observador e a horizontal. Se o ângulo duplica quando o observador se aproxima 110 m do prédio, podemos escrever: tg(2α) = altura do prédio / (distância do observador ao prédio - 110) Se o ângulo triplica quando o observador se aproxima mais 50 m, podemos escrever: tg(3α) = altura do prédio / (distância do observador ao prédio - 160) Agora, podemos utilizar a relação fundamental da trigonometria: tg(2α) = 2tg(α) / (1 - tg²(α)) tg(3α) = 3tg(α) - tg³(α) Substituindo as expressões anteriores, temos: 2tg(α) / (1 - tg²(α)) = 88 / (d - 110) 3tg(α) - tg³(α) = 88 / (d - 160) Podemos isolar tg(α) na primeira equação e substituir na segunda equação: tg(α) = 44 / (d - 110) - (d - 110) / 44 3(44 / (d - 110) - (d - 110) / 44) - (44 / (d - 110) - (d - 110) / 44)³ = 88 / (d - 160) Resolvendo essa equação, encontramos duas soluções possíveis: d = 22 m ou d = 176 m. No entanto, a distância entre o observador e o prédio não pode ser negativa, então a resposta correta é: Alternativa (c) 176 m.