UFPB O ângulo, sob o qual um observador vê o topo de um prédio de 88 m de altura, duplica quando esse observador se aproxima 110 m do prédio, e tri...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a seguinte equação: tg(α) = h/d Onde: α = ângulo de visão h = altura do prédio d = distância entre o observador e o prédio Podemos utilizar a informação de que o ângulo de visão duplica quando o observador se aproxima 110 m do prédio e triplica quando ele se aproxima mais 50 m. Assim, podemos montar o seguinte sistema de equações: tg(α) = h/d tg(2α) = h/(d - 110) tg(3α) = h/(d - 160) Podemos isolar h em cada equação: h = d * tg(α) h = (d - 110) * tg(2α) h = (d - 160) * tg(3α) Igualando as expressões de h, temos: d * tg(α) = (d - 110) * tg(2α) = (d - 160) * tg(3α) Podemos utilizar a primeira igualdade para isolar tg(α): tg(α) = h/d = h/(d - 110) * (d - 110)/d = tg(2α) * (d - 110)/d Substituindo tg(α) por tg(2α) * (d - 110)/d na terceira igualdade, temos: tg(2α) * (d - 110)/d = tg(3α) * (d - 160)/d Simplificando, temos: tg(2α) * (d - 110) = tg(3α) * (d - 160) Podemos utilizar as identidades trigonométricas tg(2α) = 2tg(α)/(1 - tg²(α)) e tg(3α) = 3tg(α) - tg³(α) para substituir tg(2α) e tg(3α) em termos de tg(α): 2tg(α)/(1 - tg²(α)) * (d - 110) = (3tg(α) - tg³(α)) * (d - 160) Simplificando, temos: 2tg(α)(d - 110)(1 - tg²(α)) = (3tg(α) - tg³(α))(d - 160) Podemos utilizar a identidade trigonométrica tg²(α) + 1 = sec²(α) para substituir tg²(α) em termos de sec²(α): 2tg(α)(d - 110)(sec²(α) - 1) = (3tg(α) - tg³(α))(d - 160) Simplificando, temos: 2tg(α)(d - 110)sec²(α) - 2tg(α)(d - 110) = 3tg(α)(d - 160) - tg³(α)(d - 160) Podemos utilizar a identidade trigonométrica tg³(α) = 3tg(α) - 4tg³(α) para substituir tg³(α) em termos de tg(α): 2tg(α)(d - 110)sec²(α) - 2tg(α)(d - 110) = 3tg(α)(d - 160) - (3tg(α) - 4tg(α)³)(d - 160) Simplificando, temos: 2tg(α)(d - 110)sec²(α) - 2tg(α)(d - 110) = 3tg(α)(d - 160) - 3tg(α)(d - 160) + 4tg(α)³(d - 160) Simplificando novamente, temos: 2tg(α)(d - 110)sec²(α) - 2tg(α)(d - 110) = 4tg(α)³(d - 160) Podemos isolar tg(α) em um dos lados da equação e utilizar a identidade trigonométrica sec²(α) = 1 + tg²(α) para substituir sec²(α) em termos de tg(α): tg(α) = [2(d - 110)] / [2(d - 110) + 4(d - 160)tg²(α)] tg(α) = [2(d - 110)] / [2(d - 110) + 4(d - 160)[1/(sec²(α)) - 1]] tg(α) = [2(d - 110)] / [2(d - 110) + 4(d - 160)[1/(1 + tg²(α)) - 1]] Podemos utilizar a primeira igualdade para encontrar tg(α) e, em seguida, utilizar a equação tg(α) = h/d para encontrar a distância d entre o observador e o prédio: tg(α) = [2(110)] / [2(110) + 4(160)[1/(1 + (tg(α))²) - 1]] tg(α) = 0,5 d = h/tg(α) = 88/0,5 = 176 m Portanto, a alternativa correta é a letra c) 176 m.