28. Fuvest-SP Na figura ao lado, tem-se que AD = AE, CD = DF e BA = BC. Se o ângulo EDF mede 80°, então o ângulo ABC mede: a) 20° b) 30° c) 50° d...

Para encontrar o ângulo ABC, precisamos usar a propriedade de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Podemos começar observando que o triângulo ADE é isósceles, pois AD = AE. Portanto, os ângulos AED e ADE são iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que: ângulo AED + ângulo ADE + ângulo E = 180° 2x + ângulo E = 180° ângulo E = 180° - 2x Da mesma forma, o triângulo BCD é isósceles, pois BC = BD. Portanto, os ângulos BDC e BCD são iguais. Usando novamente a propriedade da soma dos ângulos internos, temos que: ângulo BDC + ângulo BCD + ângulo D = 180° 2y + ângulo D = 180° ângulo D = 180° - 2y Finalmente, podemos observar que os triângulos ABD e CDE são congruentes, pois têm lados iguais. Portanto, os ângulos BAD e CDE são iguais, e os ângulos ABD e CED são iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que: ângulo BAD + ângulo ABD + ângulo B = 180° ângulo CDE + ângulo CED + ângulo EDC = 180° Substituindo as expressões que encontramos para os ângulos E e D, temos: ângulo BAD + ângulo ABD + ângulo B = 180° ângulo CDE + ângulo CED + (80° - ângulo E) = 180° Simplificando e substituindo ângulo E, temos: ângulo BAD + ângulo ABD + ângulo B = 180° ângulo CDE + ângulo CED + 80° - (180° - 2x) = 180° Simplificando novamente, temos: ângulo BAD + ângulo ABD + ângulo B = 180° ângulo CDE + ângulo CED + 2x - 80° = 180° Substituindo ângulo D por 180° - 2y, temos: ângulo BAD + ângulo ABD + ângulo B = 180° ângulo CDE + ângulo CED + 2x - (180° - 2y) - 80° = 180° Simplificando novamente, temos: ângulo BAD + ângulo ABD + ângulo B = 180° ângulo CDE + ângulo CED + 2x - 2y - 100° = 0 Agora, podemos observar que os ângulos BAD e ABD são iguais, assim como os ângulos CDE e CED. Portanto, podemos substituir esses pares de ângulos por uma única variável, que chamaremos de z: z + ângulo B = 180° z + ângulo E - 100° = 0 Substituindo ângulo E por 180° - 2x, temos: z + 180° - 2x - 100° = 0 z = 2x - 80° Substituindo z nas equações anteriores, temos: 2z + ângulo B = 180° 2z + 180° - 2x - 100° = 0 Simplificando, temos: 2z + ângulo B = 180° 2z - 2x + 80° = 0 Somando as duas equações, temos: 2z + ângulo B + 2z - 2x + 80° = 180° 4z - 2x + ângulo B = 100° Substituindo z por 2x - 80°, temos: 4(2x - 80°) - 2x + ângulo B = 100° 8x - 320° - 2x + ângulo B = 100° 6x + ângulo B = 420° ângulo B = 420° - 6x Agora, podemos observar que os ângulos BCD e ABC são suplementares, pois formam uma linha reta. Portanto: ângulo BCD + ângulo ABC = 180° Substituindo ângulo BCD por 180° - 2y e ângulo B por 420° - 6x, temos: 180° - 2y + 420° - 6x = 180° -2y - 6x = -420° y + 3x = 210° Agora, podemos usar a informação de que CD = DF para encontrar y em função de x: y = 180° - 2y y = 90° CD = DF 180° - 2y = 2y - 80° 4y = 260° y = 65° Substituindo y por 65° na equação anterior, temos: y + 3x = 210° 65° + 3x = 210° 3x = 145° x = 48,33° Finalmente, podemos substituir x por 48,33° na equação para ângulo B: ângulo B = 420° - 6x ângulo B = 420° - 6(48,33°) ângulo B = 120° Portanto, a alternativa correta é a letra d) 60°.