Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos ...

O triângulo inicial é um triângulo retângulo, pois 3² + 4² = 5². Como os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte, cada triângulo subsequente é semelhante ao triângulo anterior, com lados proporcionais a 1/2 dos lados do triângulo anterior. Portanto, a razão entre as áreas de dois triângulos consecutivos é 1/4. A área do triângulo inicial é 6 cm². A soma das áreas dos 78 primeiros triângulos é: 6 + 6/4 + 6/16 + ... + 6/4^77 Isso é uma soma de uma progressão geométrica com primeiro termo 6 e razão 1/4. A fórmula para a soma de uma progressão geométrica é: S = a(1 - r^n) / (1 - r) Onde S é a soma, a é o primeiro termo, r é a razão e n é o número de termos. Substituindo os valores, temos: S = 6(1 - (1/4)^78) / (1 - 1/4) S = 6(1 - 1,27 x 10^-24) / (3/4) S = 8 x 10^23 cm² A alternativa mais próxima da soma das áreas é a letra E) 12.