Escreva f (z) = (r2 + cosθ)2 + tg2θ i, r diferente de 0, θ igual a pi/4 + k*pi ou 3*pi/4 + k*pi, k inteiro. a. f (z) = r4 + 2r2 cosθ + cos2θ + i t...

A alternativa correta é a letra A: f(z) = r^4 + 2r^2cos(θ) + cos^2(θ) + i tg^2(θ). Substituindo r^2 + cos(θ) por r^2cos^2(θ) + 2r^2cos(θ) + 1 - cos^2(θ) na expressão original, temos: f(z) = (r^2cos^2(θ) + 2r^2cos(θ) + 1 - cos^2(θ)) + i tg^2(θ) f(z) = r^4cos^2(θ) + 2r^2cos^3(θ) + r^2 - r^2cos^2(θ) + tg^2(θ) Usando as identidades trigonométricas tg^2(θ) = sec^2(θ) - 1 e cos^2(θ) + sen^2(θ) = 1, podemos simplificar a expressão: f(z) = r^4 + 2r^2cos^2(θ) + cos^2(θ) + i tg^2(θ) f(z) = r^4 + 2r^2cos(θ) + cos^2(θ) + i tg^2(θ) Substituindo θ por pi/4 + k*pi ou 3*pi/4 + k*pi, k inteiro, temos: f(z) = r^4 + 2r^2cos(pi/4 + k*pi) + cos^2(pi/4 + k*pi) + i tg^2(pi/4 + k*pi) f(z) = r^4 + 2r^2cos(pi/4) + cos^2(pi/4) + i tg^2(pi/4) f(z) = r^4 + 2r^2(√2/2) + (√2/2)^2 + i Simplificando a expressão, temos: f(z) = r^4 + r^2 + 1/2 + i Portanto, a alternativa correta é a letra A: f(z) = r^4 + 2r^2cos(θ) + cos^2(θ) + i tg^2(θ) = r^4 + r^2 + 1/2 + i.