4. Prove que as funções: tghz, cotghz, sechz e cossechz são periódicas e determine seus perı́odos. As funções sechz e cossechz são periódi...

Para provar que uma função é periódica, é necessário mostrar que ela se repete em intervalos regulares. Para a função tangente hiperbólica (tghz), temos: tgh(z + 2πi) = (e^(z+2πi) - e^(-z-2πi)) / (e^(z+2πi) + e^(-z-2πi)) = (e^z * e^(2πi) - e^(-z) * e^(-2πi)) / (e^z * e^(2πi) + e^(-z) * e^(-2πi)) = (e^z - e^(-z)) / (e^z + e^(-z)) = tgh(z) Portanto, a função tghz é periódica com período πi. Para a função cotangente hiperbólica (cotghz), temos: cotgh(z + 2πi) = cosh(z + 2πi) / senh(z + 2πi) = cosh(z) / senh(z) = cotgh(z) Portanto, a função cotghz é periódica com período πi. Para a função secante hiperbólica (sechz), temos: sech(z + 2πi) = 1 / cosh(z + 2πi) = 1 / cosh(z) = sech(z) Portanto, a função sechz é periódica com período 2πi. Para a função cossecante hiperbólica (cossechz), temos: cossech(z + 2πi) = 1 / senh(z + 2πi) = 1 / senh(z) = cossech(z) Portanto, a função cossechz é periódica com período 2πi.