a. Seja p(z) = az+b ∈C[z]. Se p(z1) = ω1 e p(z2) = ω2, escreva a e b em função de z1, z2, ω1 e ω2. b. Seja p(z) = az+b ∈ C[z]. Se a ≠ 0, prove qu...

a. Seja p(z) = az+b ∈C[z]. Se p(z1) = ω1 e p(z2) = ω2, escreva a e b em função de z1, z2, ω1 e ω2.
b. Seja p(z) = az+b ∈ C[z]. Se a ≠ 0, prove que p(z) é uma função bijetora de C em C e determine sua inversa p−1(z).
a
b
a. Temos o sistema p(z1) = az1+b= ω1 e p(z2) = az2+b= ω2. Diminuindo (i) de (ii), obtemos a(z2 − z1) = ω2 −ω1 ⇒ a = ω2−ω1/z2− z1 e isso implica b=ω1−a z1.
b. Se a ≠ 0, então p(z) é injetora. Para provar que é sobrejetora, basta mostrar que para todo w em C, existe z em C tal que p(z) = w. Seja w em C. Então, existe z em C tal que az = w − b, ou seja, z = a^-1(w-b). Portanto, p^-1(w) = a^-1(w-b) e p(z) é bijetora.