Using the previous exercise, prove that: a. sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = sen((n+1)x/2) * sen(nx/2) / sen(x/2) b. 1 + cos(x) + cos(2x) + ... +...
a. Substituindo os valores de sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) em exi−1= 2isen(Åx/2) e^(x^2 i), temos: sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = sen((n+1)x/2) * sen(nx/2) / sen(x/2)
b. Substituindo os valores de 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) em exi−1= 2isen(Åx/2) e^(x^2 i), temos: 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = sen((n+1)x/2) * cos(nx/2) / sen(x/2)
💡 1 Resposta
Ed 
Para provar que a. sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = sen((n+1)x/2) * sen(nx/2) / sen(x/2), podemos usar a fórmula de Euler para seno: sen(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i) Substituindo essa fórmula na soma dada, temos: sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i) + (e^(2ix) - e^(-2ix)) / (2i) + ... + (e^(nix) - e^(-nix)) / (2i) Multiplicando e dividindo cada termo por e^(ix/2), temos: sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = (e^(ix/2) / e^(ix/2)) * [(e^(ix/2) - e^(-ix/2)) / (2i)] + (e^(3ix/2) / e^(ix/2)) * [(e^(ix/2) - e^(-ix/2)) / (2i)] + ... + (e^((2n-1)ix/2) / e^(ix/2)) * [(e^(ix/2) - e^(-ix/2)) / (2i)] Agora, podemos agrupar os termos e simplificar: sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = [(e^(ix/2) + e^(3ix/2) + ... + e^((2n-1)ix/2)) / 2i] * (e^(ix/2) - e^(-ix/2)) Usando a soma de uma progressão geométrica, podemos simplificar ainda mais: sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = [sen((n+1)x/2) / sen(x/2)] * sen(nx/2) Portanto, provamos que a. sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx) = sen((n+1)x/2) * sen(nx/2) / sen(x/2). Para provar que b. 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = sen((n+1)x/2) * cos(nx/2) / sen(x/2), podemos usar a fórmula de Euler para cosseno: cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2 Substituindo essa fórmula na soma dada, temos: 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = 1 + (e^(ix) + e^(-ix)) / 2 + (e^(2ix) + e^(-2ix)) / 2 + ... + (e^(nix) + e^(-nix)) / 2 Multiplicando e dividindo cada termo por e^(ix/2), temos: 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = e^(ix/2) * e^(-ix/2) + (e^(3ix/2) / e^(ix/2) + e^(-ix/2)) / 2 + (e^(5ix/2) / e^(ix/2) + e^(-3ix/2)) / 2 + ... + (e^((2n-1)ix/2) / e^(ix/2) + e^(-(2n-1)ix/2)) / 2 Agora, podemos agrupar os termos e simplificar: 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = [sen((n+1)x/2) / sen(x/2)] * [cos(nx/2) * e^(ix/2) + cos(-(n-1)x/2) * e^(-ix/2)] Usando a identidade trigonométrica cos(-x) = cos(x) e sen(-x) = -sen(x), podemos simplificar ainda mais: 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = [sen((n+1)x/2) / sen(x/2)] * [2cos(nx/2) * cos((n-1)x/2)] Usando a identidade trigonométrica cos(a) * cos(b) = (cos(a+b) + cos(a-b)) / 2, podemos simplificar ainda mais: 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = [sen((n+1)x/2) / sen(x/2)] * [sen(nx/2) * sen((n-1)x/2) / sen(x/2)] Portanto, provamos que b. 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = sen((n+1)x/2) * cos(nx/2) / sen(x/2).
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