Seja S = 1+ cosx+ cos2x+ . . .+ cosnx+ i(senx+ sen2x+ . . .+sennx). Qual a parte real de S? a) sen(Ç(n+1)x/2)cos(Ånx/2) b) cos(Ç(n+1)x/2)cos(Ånx/...

Podemos escrever S como: S = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) + i(sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx)) A parte real de S é a soma dos termos que não possuem "i". Então, temos: Parte real de S = 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) Podemos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita para simplificar essa expressão: cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = (cos((n+1)x) - cos(x))/(1 - cos(x)) Substituindo na expressão da parte real de S, temos: Parte real de S = 1 + (cos((n+1)x) - cos(x))/(1 - cos(x)) Multiplicando o numerador e o denominador por 2sen²(x/2), obtemos: Parte real de S = 2sen²((n+1)x/2)/2sen²(x/2) + 2sen²(x/2) - 2sen²((n+1)x/2)/2sen²(x/2) Simplificando, temos: Parte real de S = sen²((n+1)x/2)/sen²(x/2) - 1 Portanto, a alternativa correta é a letra E) sen²((n+1)x/2)/sen²(x/2) - 1.