Prove o Corolário 10.2. [object Object] f^-1(z) é uma função. f^-1(z) é a inversa de f(z). a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas a afirm...

O Corolário 10.2 afirma que se f(z) é uma função analítica e não constante em uma região simplesmente conexa D, então f(z) tem uma única inversa f^-1(z), que é também analítica e não constante em D. Para provar o Corolário 10.2, podemos usar o Teorema da Função Inversa. Seja w = f(z) uma função analítica e não constante em D. Então, a derivada de f(z) em relação a z é dada por: f'(z) = lim(h -> 0) [f(z + h) - f(z)]/h Como f(z) é analítica em D, podemos escrever f(z + h) como uma série de potências em torno de z: f(z + h) = f(z) + f'(z)h + (1/2!)f''(z)h^2 + ... Substituindo na expressão para f'(z), temos: f'(z) = lim(h -> 0) [f(z) + f'(z)h + (1/2!)f''(z)h^2 + ... - f(z)]/h f'(z) = lim(h -> 0) [f'(z)h + (1/2!)f''(z)h^2 + ...]/h f'(z) = f'(z) + (1/2!)f''(z)h + ... Portanto, f''(z) = 0, o que significa que f(z) é uma função linear. Como f(z) é não constante, ela não pode ser uma função linear, o que é uma contradição. Portanto, f(z) não pode ser uma função analítica e não constante em D. Assim, concluímos que se f(z) é uma função analítica e não constante em uma região simplesmente conexa D, então f(z) tem uma única inversa f^-1(z), que é também analítica e não constante em D. Portanto, a alternativa correta é a letra c) As afirmativas I e II são verdadeiras.