Prove o Teorema 10.2. [object Object] f(z) é injetora. f(z) é sobrejetora. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas a afirmativa II é verda...

O Teorema 10.2 afirma que uma função f(z) é injetora e sobrejetora se e somente se ela é biunívoca. Para provar isso, é necessário mostrar que: 1. Se f(z) é biunívoca, então ela é injetora e sobrejetora. 2. Se f(z) é injetora e sobrejetora, então ela é biunívoca. Para provar a primeira afirmação, suponha que f(z) é biunívoca. Isso significa que para cada valor de z, há um único valor de f(z), e para cada valor de f(z), há um único valor de z. Para mostrar que f(z) é injetora, suponha que f(z1) = f(z2) para alguns z1 e z2. Isso implica que z1 = z2, pois f(z1) = f(z2) implica que ambos os valores são iguais ao mesmo valor de f(z), e como f(z) é biunívoca, isso implica que z1 = z2. Portanto, f(z) é injetora. Para mostrar que f(z) é sobrejetora, suponha que w seja um valor arbitrário no contradomínio de f(z). Como f(z) é biunívoca, existe um único valor de z tal que f(z) = w. Portanto, f(z) é sobrejetora. Para provar a segunda afirmação, suponha que f(z) é injetora e sobrejetora. Isso significa que para cada valor de z, há um único valor de f(z), e para cada valor de f(z), há um único valor de z. Para mostrar que f(z) é biunívoca, é necessário mostrar que para cada valor de z, há um único valor de f(z), e para cada valor de f(z), há um único valor de z. Suponha que f(z1) = f(z2) para alguns z1 e z2. Como f(z) é injetora, isso implica que z1 = z2. Portanto, f(z) é injetora. Suponha agora que w seja um valor arbitrário no contradomínio de f(z). Como f(z) é sobrejetora, existe um valor de z tal que f(z) = w. Suponha que exista outro valor de z' tal que f(z') = w. Isso implica que z = z', pois f(z) = f(z') implica que ambos os valores são iguais ao mesmo valor de w, e como f(z) é injetora, isso implica que z = z'. Portanto, f(z) é biunívoca. Assim, podemos concluir que a alternativa correta é a letra c) As afirmativas I e II são verdadeiras.