Determine w,z,z0 ∈ C tais que a. Se f (z)=Log(z), então Log(w.z) �=Log(w)+Log(z). b. O valor principal de (zz0)w é diferente do valor principal d...

a. Se f(z) = Log(z), então Log(w.z) = Log(w) + Log(z) para w, z, z0 ∈ C, com w ≠ 0, z ≠ 0 e z0 ≠ 0. Para provar isso, podemos usar a definição de Log(z) = ln|z| + iArg(z), onde ln é o logaritmo natural e Arg(z) é o argumento principal de z. Então, temos: Log(w.z) = ln|w.z| + iArg(w.z) = ln|w| + ln|z| + i(Arg(w) + Arg(z)) e Log(w) + Log(z) = ln|w| + iArg(w) + ln|z| + iArg(z) = ln|w| + ln|z| + i(Arg(w) + Arg(z)) Portanto, Log(w.z) = Log(w) + Log(z). b. O valor principal de (zz0)w é diferente do valor principal de zz0.w se e somente se Arg(z) - Arg(z0) ≠ 2kπ para qualquer k ∈ Z. Para provar isso, podemos usar a definição de valor principal de uma potência complexa. Se z = re^(iθ) e z0 = r0e^(iθ0), então temos: (zz0)w = (re^(iθ))(r0e^(iθ0)))^w = (rr0)^w e^(iw(θ + θ0)) e zz0.w = (re^(iθ))(r0e^(iθ0)))^w = (rr0)^w e^(iwθ) e^(iw0θ0) O valor principal de (zz0)w é dado por (rr0)^w e^(iw(θ + θ0)), onde θ + θ0 é o argumento principal de zz0. O valor principal de zz0.w é dado por (rr0)^w e^(iwθ) e^(iw0θ0), onde θ é o argumento principal de z e θ0 é o argumento principal de z0. Portanto, o valor principal de (zz0)w é diferente do valor principal de zz0.w se e somente se Arg(z) - Arg(z0) ≠ 2kπ para qualquer k ∈ Z.