UFR-RJ Determine o valor de p na equação sen x – p cos2x

Para determinar o valor de p na equação sen x - p cos2x, é necessário utilizar a identidade trigonométrica sen²x + cos²x = 1 e manipulá-la para isolar o valor de p. Começando pela equação dada, temos: sen x - p cos2x = 0 Substituindo cos2x por 1 - sen²x, temos: sen x - p (1 - sen²x) = 0 Distribuindo o p, temos: sen x - p + p sen²x = 0 Reorganizando os termos, temos: p sen²x - p + sen x = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: Δ = (-1)² - 4p(sen x)(1) Δ = 1 - 4p sen x As raízes da equação são: sen²x = (-b ± √Δ) / 2a sen²x = (1 ± √(1 - 4p sen x)) / 2p Como sen²x é sempre positivo, a raiz negativa não é válida. Portanto, temos: sen²x = (1 + √(1 - 4p sen x)) / 2p Multiplicando ambos os lados por 2p, temos: 2p sen²x = 1 + √(1 - 4p sen x) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 4p² sen⁴x - 4p sen²x + 1 = 1 - 4p sen x Simplificando, temos: 4p² sen⁴x - 4p sen²x + 4p sen x = 0 Dividindo todos os termos por 4p, temos: p sen⁴x - sen²x + sen x = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara novamente, temos: Δ = (1)² - 4p(sen x)(1) Δ = 1 - 4p sen x As raízes da equação são: sen²x = (-b ± √Δ) / 2a sen²x = (1 ± √(1 - 4p sen x)) / 2p Como sen²x é sempre positivo, a raiz negativa não é válida. Portanto, temos: sen²x = (1 + √(1 - 4p sen x)) / 2p Substituindo essa expressão na equação original, temos: sen x - p cos2x = 0 sen x - p (1 - sen²x) = 0 sen x - p + p sen²x = 0 sen x - p + p [(1 + √(1 - 4p sen x)) / 2p] = 0 sen x - 1/2 + √(1 - 4p sen x)/2 = 0 Isolando o valor de p, temos: p = (sen x - 1/2) / (sen x + √(1 - 4p sen x)) Essa equação não pode ser resolvida de forma analítica, portanto é necessário utilizar métodos numéricos para encontrar uma aproximação para o valor de p.