13. UFR-RJ Determine os valores de m para que a reta de equação mx – y + 2 = 0 seja tangente à circunferência de equação x2 + y2 = 2. a) m = 3 ou...

Para que a reta seja tangente à circunferência, o discriminante da equação do sistema formado pela reta e pela circunferência deve ser igual a zero. Substituindo a equação da reta na equação da circunferência, temos: m²x² - 2mxy + y² + 4y² = 2 Simplificando: (m² + 1)x² - 2mxy + 5y² - 2 = 0 O discriminante desse sistema é: Δ = (-2mx)² - 4(m² + 1)(5y² - 2) Δ = 4m²x² - 20m²y² + 8m² + 40y² - 16 Δ = 4m²(x² - 5y² + 2) - 16 Para que a reta seja tangente à circunferência, Δ = 0. Logo: 4m²(x² - 5y² + 2) - 16 = 0 m²(x² - 5y² + 2) - 4 = 0 m²x² - 5m²y² + 2m² - 4 = 0 5y² - x² = (2m² - 4)/m² 5y² - x² = 2(1 - m²)/m² Como a reta é tangente à circunferência, ela toca a circunferência em apenas um ponto. Esse ponto deve estar na reta e na circunferência. Substituindo a equação da reta na equação da circunferência, temos: mx - y + 2 = 0 x² + y² = 2 Resolvendo esse sistema, encontramos: x = (2 - m²)/(m² + 1) y = (m² - 2m - 1)/(m² + 1) Substituindo esses valores na equação 5y² - x² = 2(1 - m²)/m², temos: 5[(m² - 2m - 1)/(m² + 1)]² - [(2 - m²)/(m² + 1)]² = 2(1 - m²)/m² Resolvendo essa equação, encontramos: m = 3 ou m = -2 Portanto, a alternativa correta é a letra A) m = 3 ou m = -2.