14. ITA-SP Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência de triângulos do seguinte modo: os pontos ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e a fórmula da área do triângulo. Primeiro, vamos calcular a área do triângulo inicial usando a fórmula de Heron: p = (3 + 4 + 5)/2 = 6 A = √(6(6-3)(6-4)(6-5)) = √36 = 6 Agora, vamos construir os próximos triângulos. Os lados do segundo triângulo serão 3,5 e √(3²+4²) = √25 = 5. A área do segundo triângulo é: p = (3 + 5 + √25)/2 = 6 A = √(6(6-3)(6-5)(6-√25)) = √27 = 3√3 Podemos continuar construindo triângulos e calculando suas áreas até chegar ao 78º triângulo. No entanto, podemos perceber que a cada novo triângulo, a área é reduzida pela metade em relação ao triângulo anterior. Portanto, a soma das áreas dos 78 primeiros triângulos é aproximadamente igual a: 6 + 3√3 + (3/2)√3 + (3/4)√3 + ... + (3/2^77)√3 Podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica para calcular essa soma: S = a(1 - r^n)/(1 - r) onde a = 3√3, r = 1/2 e n = 78. S = 3√3(1 - (1/2)^78)/(1 - 1/2) S = 6(1 - (1/2)^78) S ≈ 6 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 8.