FUVEST-SP O quadrado ao lado tem O como centro e M como ponto médio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente aos lados do quadrado, seja ...

Para encontrar a distância de O a X em função de u, podemos utilizar a trigonometria. Como O é o centro do quadrado, temos que a distância de O a M é igual a metade do lado do quadrado. Seja L o lado do quadrado, temos que OM = L/2. Podemos utilizar a lei dos cossenos no triângulo OXM para encontrar a distância de O a X em função de u. Temos que: OX² = OM² + XM² - 2OM·XM·cos(u) Substituindo OM por L/2 e XM por L/2·tan(u), temos: OX² = (L/2)² + (L/2·tan(u))² - 2(L/2)·(L/2·tan(u))·cos(u) Simplificando, temos: OX² = L²/4·(1 + tan²(u) - 2·tan(u)·cos(u)) OX = L/2·sqrt(1 + tan²(u) - 2·tan(u)·cos(u)) Para encontrar a distância de O a X em função de θ, podemos utilizar a mesma fórmula, mas substituindo u por θ. Temos: OX = L/2·sqrt(1 + tan²(θ) - 2·tan(θ)·cos(θ)) Para encontrar o valor de θ em função de u, podemos utilizar a função arctan. Temos: tan(u) = XM/OM = XM/(L/2) = 2·XM/L tan(u) = 2·OX/L tan(u)/2 = OX/L tan(u)/2L = OX/L² θ = arctan(tan(u)/2L) Para encontrar o valor de u em função de θ, podemos utilizar a mesma fórmula, mas isolando tan(u) em vez de θ. Temos: tan(u) = 2L·tan(θ) Para encontrar o gráfico que melhor representa a distância de O a X em função de θ, precisamos analisar a fórmula que encontramos anteriormente. Podemos notar que a distância de O a X é uma função par, ou seja, simétrica em relação ao eixo y. Além disso, a distância é máxima quando cos(θ) = -1, ou seja, quando θ = π. Portanto, o gráfico que melhor representa a distância de O a X em função de θ é o da alternativa (c).