49. U.Católica Dom Bosco-MS Considere um paralelogramo retângulo em que a base, a altura e a diagonal formam uma progressão aritmética de razão igu...

Podemos resolver esse problema usando a fórmula do teorema de Pitágoras. Sabemos que a diagonal é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela base e altura do paralelogramo. Seja x a medida da base, então a altura é x + r e a diagonal é x + 2r, onde r é a razão da progressão aritmética. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: (x + r)² + x² = (x + 2r)² x² + 2xr + r² + x² = x² + 4xr + 4r² 2x² - 2xr - 3r² = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, temos: x = (2r + √20r²) / 4 ou x = (2r - √20r²) / 4 Como x é a base do paralelogramo, ela não pode ser negativa. Portanto, a resposta correta é: x = (2r + √20r²) / 4 = r(1 + √5) / 2 A diagonal é x + 2r, então: x + 2r = r(1 + √5) / 2 + 2r = (r + √5r) / 2 Substituindo r por 2, que é a razão da progressão aritmética, temos: (r + √5r) / 2 = 2 + √20 (r + √5r) = 4 + 2√20 r(1 + √5) = 4 + 2√20 r = (4 + 2√20) / (1 + √5) r = (4 + 2√5) / 2 r = 2 + √5 A diagonal é x + 2r, então: x + 2r = r(1 + √5) / 2 + 2r = (2 + √5)(1 + √5) / 2 + 4 x + 2r = (7 + 3√5) / 2 Portanto, a resposta correta é: d) 12,5