Seja um triângulo de vértices A (1,1,2), B (5,1,3) e C (-3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor AH, em que H é o pé da altura relativa ao lado BC....

Para calcular as coordenadas do vetor AH, primeiro precisamos encontrar as coordenadas do ponto H, que é a interseção da altura relativa ao lado BC com o vértice A. O vetor BC é dado por BC = C - B = (-3, 9, 3) - (5, 1, 3) = (-8, 8, 0). O vetor BA é dado por BA = A - B = (1, 1, 2) - (5, 1, 3) = (-4, 0, -1). O produto escalar entre BC e BA é dado por: BC . BA = (-8, 8, 0) . (-4, 0, -1) = 32 O módulo do vetor BC é dado por: |BC| = √((-8)² + 8² + 0²) = 8√2 A altura relativa ao lado BC é dada por: h = 2 * (área do triângulo ABC) / |BC| = 2 * [(BA x BC) / 2] / |BC| = (BA x BC) / |BC| Onde BA x BC é o produto vetorial entre BA e BC: BA x BC = (-8, 8, 0) x (-4, 0, -1) = (-8, 32, 32) Portanto, a altura relativa ao lado BC é dada por: h = (-8, 32, 32) / 8√2 = (-1/√2, 4√2, 4√2) O ponto H é a interseção da altura com o vértice A, então podemos escrever: AH = H - A H = A + AH Como H pertence à reta que passa por B e C, podemos escrever: H = B + t * BC Substituindo H em ambas as equações, temos: A + AH = B + t * BC AH = B - A + t * BC Substituindo os valores, temos: AH = (5, 1, 3) - (1, 1, 2) + t * (-8, 8, 0) AH = (4, 0, 1) - t * (8, -8, 0) Como AH é perpendicular a BC, o produto escalar entre AH e BC é zero: AH . BC = (4, 0, 1) . (-8, 8, 0) - t * (8, -8, 0) . (-8, 8, 0) = 0 Resolvendo para t, temos: t = 1/8 Substituindo em AH = (4, 0, 1) - t * (8, -8, 0), temos: AH = (4, 0, 1) - (1, -1, 0) = (3, 1, 1) Portanto, as coordenadas do vetor AH são (3, 1, 1). A alternativa correta não foi fornecida na pergunta.