Dado o operador linear T: R^3⟶R^2 , T (x,y,z)= (x-y-z, 2z-x) assinale a alternativa que contenha a imagem de T: Grupo de escolhas da pergunta

Para encontrar a imagem do operador linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) dado por \( T(x, y, z) = (x - y - z, 2z - x) \), precisamos analisar os vetores que podem ser gerados por essa transformação. 1. Identificar a forma do vetor de saída: O vetor de saída é da forma \( (a, b) \), onde: - \( a = x - y - z \) - \( b = 2z - x \) 2. Expressar \( x \) e \( z \) em termos de \( a \) e \( b \): - Da primeira equação, podemos expressar \( x \) como \( x = a + y + z \). - Substituindo na segunda equação, temos \( b = 2z - (a + y + z) \), que simplifica para \( b = z - a - y \). 3. Encontrar a relação entre \( a \) e \( b \): - A partir das equações, podemos ver que a imagem de \( T \) é gerada por combinações lineares dos vetores resultantes. 4. Determinar a imagem: A imagem de \( T \) será um subespaço de \( \mathbb{R}^2 \). Para determinar a dimensão e a base, podemos usar a matriz associada a \( T \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Calculando o posto da matriz, podemos determinar a dimensão da imagem. 5. Conclusão: A imagem de \( T \) é um subespaço de \( \mathbb{R}^2 \) que pode ser descrito por uma combinação linear dos vetores resultantes. Para a resposta correta, você deve verificar as opções disponíveis e identificar qual delas representa corretamente a imagem do operador linear \( T \).

A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em R^2 que podem ser escritos como T(x,y,z) para algum vetor (x,y,z) em R^3. Usando a definição de T, podemos escrever a imagem como: Im(T) = {(x-y-z, 2z-x) | x,y,z ∈ R} Portanto, a alternativa correta que contém a imagem de T é a letra B.