Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos formados pela função g(x) = 2x6 e o eixo x, para 0 ≤ x...

Para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da função g(x) = 2x^6 em torno do eixo y, podemos utilizar o método dos discos ou método da casca cilíndrica. Método dos discos: - Dividir o intervalo [0, 2] em n subintervalos de largura Δx = (2-0)/n - Para cada subintervalo, escolher um ponto xi e calcular a área do disco gerado pela rotação da função em torno do eixo y: Ai = π(g(xi))^2 - Somar as áreas de todos os discos: A = ΣAi - O volume do sólido é dado por V = AΔx Aplicando o método dos discos, temos: - Δx = (2-0)/n = 2/n - xi = iΔx = 2i/n - Ai = π(g(xi))^2 = π(2(2i/n)^6)^2 = 2^13πi^12/n^12 - A = ΣAi = Σ2^13πi^12/n^12 = 2^13π/n^12 Σi^12 - Σi^12 é a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais elevados a 12. Essa soma pode ser calculada por meio de uma fórmula matemática, mas para n=2 temos Σi^12 = 1^12 + 2^12 = 1 + 4096 = 4097. - A = 2^13π/n^12 Σi^12 = 2^13π/2^12 * 4097 = 64π - V = AΔx = 64π * 2/n = 128π/n Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação da função g(x) = 2x^6 em torno do eixo y, para 0 ≤ x ≤ 2, é dado por 128π/n. Como não foi especificado o valor de n, não podemos determinar o valor exato do volume.