Para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da função \( g(x) = 2x^6 \) em torno do eixo \( y \) no intervalo \( 0 \leq x \leq 2 \), utilizamos o método dos discos ou anéis. A fórmula para o volume \( V \) gerado pela rotação em torno do eixo \( y \) é dada por: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Neste caso, precisamos expressar \( x \) em função de \( y \). Primeiro, isolamos \( x \) na função: \[ y = 2x^6 \implies x = \left(\frac{y}{2}\right)^{1/6} \] Agora, precisamos encontrar os limites de integração. Quando \( x = 0 \), \( y = 0 \) e quando \( x = 2 \): \[ y = 2(2^6) = 2 \cdot 64 = 128 \] Portanto, os limites de integração são de \( 0 \) a \( 128 \). Agora, substituímos na fórmula do volume: \[ V = \pi \int_{0}^{128} \left(\left(\frac{y}{2}\right)^{1/6}\right)^2 \, dy \] Simplificando: \[ V = \pi \int_{0}^{128} \left(\frac{y}{2}\right)^{1/3} \, dy = \pi \int_{0}^{128} \frac{y^{1/3}}{2^{1/3}} \, dy \] \[ = \frac{\pi}{2^{1/3}} \int_{0}^{128} y^{1/3} \, dy \] Calculando a integral: \[ \int y^{1/3} \, dy = \frac{y^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4} y^{4/3} \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 128 \): \[ = \frac{3}{4} \left[ 128^{4/3} - 0 \right] = \frac{3}{4} \cdot 128^{4/3} \] Sabendo que \( 128 = 2^7 \), temos: \[ 128^{4/3} = (2^7)^{4/3} = 2^{28/3} = 2^{9 + 1/3} = 512 \cdot 2^{1/3} \] Portanto: \[ = \frac{3}{4} \cdot 512 \cdot 2^{1/3} = 384 \cdot 2^{1/3} \] Substituindo de volta na fórmula do volume: \[ V = \frac{\pi}{2^{1/3}} \cdot 384 \cdot 2^{1/3} = 384\pi \] Por fim, como \( 384 = 128 \cdot 3 \), o volume é: \[ V = 128\pi \] Assim, a resposta correta é: 128π.