(1.5) Sejam U e V os seguintes subespaços de ℝ4 : ???? = {(????, ????, ????, ????)/???? + ???? + ???? = 0}, ???? = {(????, ????, ????, ????)/???? + ???? = 0, ???? = 3????}. Encontre...

Para encontrar a dimensão e uma base para cada um dos subespaços U, V e U ∩ V, podemos utilizar o método de Gauss-Jordan para encontrar as matrizes escalonadas reduzidas correspondentes aos sistemas homogêneos associados a cada subespaço. Para o subespaço U, temos a seguinte matriz ampliada: | 1 1 1 0 | 0 | |------------|---| | 0 0 0 1 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos a matriz escalonada reduzida: | 1 1 1 0 | 0 | |------------|---| | 0 0 0 1 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | Portanto, a dimensão do subespaço U é 2 e uma base para U é dada pelos vetores (1, -1, 0, 0) e (0, 0, 1, -1). Para o subespaço V, temos a seguinte matriz ampliada: | 1 1 0 0 | 0 | |------------|---| | 0 0 1 0 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos a matriz escalonada reduzida: | 1 1 0 0 | 0 | |------------|---| | 0 0 1 0 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | | 0 0 0 0 | 0 | Portanto, a dimensão do subespaço V é 2 e uma base para V é dada pelos vetores (1, -1, 0, 0) e (0, 0, 1, 0). Para o subespaço U ∩ V, precisamos encontrar a solução do sistema homogêneo associado à interseção dos dois subespaços: | 1 1 1 0 | 0 | |------------|---| | 0 0 0 1 | 0 | Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos a matriz escalonada reduzida: | 1 1 0 0 | 0 | |------------|---| | 0 0 1 0 | 0 | Portanto, a dimensão do subespaço U ∩ V é 2 e uma base para U ∩ V é dada pelos vetores (1, -1, 0, 0) e (0, 0, 1, 0).