Pelo que nossos registros históricos mostram, o cálculo integral surgiu para solucionar o cálculo de áreas. Após muitos matemáticos explorarem e fo...

Para encontrar o volume do sólido que está sob o paraboloide z=x^2+y^2 acima do plano e dentro do cilindro x^2+y^2=2x, podemos utilizar coordenadas polares. Primeiro, vamos encontrar a equação em coordenadas polares do cilindro x^2+y^2=2x. Podemos reescrever essa equação como (x-1)^2 + y^2 = 1, o que nos dá a equação em coordenadas polares r^2 - 2r cos(theta) + 1 = 0. Agora, vamos encontrar a equação em coordenadas polares do paraboloide z=x^2+y^2. Podemos reescrever essa equação como z=r^2. Para encontrar o volume do sólido, precisamos integrar a função z=r^2 sobre a região delimitada pelo cilindro. Podemos escrever essa região como 0 <= r <= 2cos(theta) e 0 <= theta <= pi. Assim, temos: V = ∫∫z dA = ∫∫r^2 r dr dtheta = ∫0^pi ∫0^2cos(theta) r^3 dr dtheta = ∫0^pi [r^4/4]_0^2cos(theta) dtheta = ∫0^pi 16cos^4(theta)/4 dtheta = ∫0^pi 4cos^4(theta) dtheta = 4/3 [sin(theta) - sin^3(theta)/3]_0^pi = 4/3 (1 - 1/3) = 8/9 pi Portanto, o volume do sólido é aproximadamente 2,81 cm³.