Seja gamma C R squared um arco circular orientado no sentido anti-horário, partindo de (5,0) e chegando em (-4,3). Usando o conceito de integral de...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Primeiro, vamos encontrar a equação do arco circular. Sabemos que o centro do círculo é o ponto médio entre os pontos inicial e final do arco, que é ((5-4)/2, (0+3)/2) = (0.5, 1.5). Além disso, o raio do círculo é a distância entre o centro e um dos pontos, que é dado por: r = sqrt((5-(-4))^2 + (0-3)^2) = sqrt(170) Assim, a equação do arco circular é dada por: (x - 0.5)^2 + (y - 1.5)^2 = 170 Podemos parametrizar essa curva como: x = r cos(t) + 0.5 y = r sen(t) + 1.5 onde t varia de 0 a 2π. Agora, podemos calcular a integral de linha usando a parametrização acima: ∫γ y dx + x dy = ∫0^2π [(r sen(t) + 1.5) (-r sen(t) dt) + (r cos(t) + 0.5) (r cos(t) dt)] = ∫0^2π (-r^2 sen^2(t) - r^2 cos^2(t) + 0.5 r cos(t)) dt + ∫0^2π (1.5 r sen(t)) dt = ∫0^2π (-r^2 + 0.5 r cos(t)) dt + 0 = [-2π r^2 + 0.5 r sen(t)]|0^2π = -2π r^2 Substituindo o valor de r, temos: ∫γ y dx + x dy = -2π (sqrt(170))^2 = -2π 170 = -340π Portanto, a alternativa correta é a letra E) -1.