Resolva 3dy/dx = (2x + 3y - 1) + 4(2x + 3y - 1)^-3 - 2.

Para resolver essa equação diferencial, podemos utilizar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reescrevê-la na forma padrão: 3dy/dx = 2x + 3y - 1 + 4(2x + 3y - 1)^-3 - 2 Agora, vamos separar as variáveis y e x: 3dy/(2x + 3y - 1 + 4(2x + 3y - 1)^-3 - 2) = dx Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação: ∫3dy/(2x + 3y - 1 + 4(2x + 3y - 1)^-3 - 2) = ∫dx Para a integral do lado esquerdo, podemos fazer a substituição u = 2x + 3y - 1. Então, du/dy = 3 e du/dx = 2, o que nos dá: ∫(1/3)du/(u + 4u^-3 - 2) = x + C Agora, podemos resolver a integral do lado esquerdo utilizando a técnica de frações parciais. Após a integração, obtemos: ln|2x + 3y - 1 + 4(2x + 3y - 1)^-3 - 2| - (1/6)ln|u^2 - 2u - 8| = 3x + C Substituindo u de volta por 2x + 3y - 1, temos: ln|5x + 3y + 1 + 4(5x + 3y + 1)^-3 - 2| - (1/6)ln|25x^2 + 30xy + 9y^2 - 4 - 8x - 12y| = 3x + C Essa é a solução geral da equação diferencial.