Determine a solução geral da equação y′′ − 7y + 10y = 8e2x

Para resolver essa equação diferencial homogênea, primeiro encontramos as raízes da equação característica: r^2 - 7r + 10 = 0 (r - 5)(r - 2) = 0 Portanto, as raízes são r1 = 5 e r2 = 2. A solução geral da equação homogênea correspondente é: y_h(x) = c1e^(5x) + c2e^(2x) Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Como o lado direito é uma exponencial, tentamos uma solução particular na forma: y_p(x) = Ae^(2x) Substituindo na equação original, temos: 4Ae^(2x) - 7Ae^(2x) + 10Ae^(2x) = 8e^(2x) Resolvendo para A, obtemos: A = 1 Portanto, uma solução particular é: y_p(x) = e^(2x) A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1e^(5x) + c2e^(2x) + e^(2x)