Exemplo 2.6.3. (a) Determine a solução geral da equação y(4) + y′′′ − 3y′′ − 5y′ − 2y = 0. (b) Resolve o problema de valor inicial y(3) − y′′ − y′ ...

(a) Para encontrar a solução geral da equação diferencial y(4) + y′′′ − 3y′′ − 5y′ − 2y = 0, primeiro encontramos a equação característica correspondente, que é r^4 + r^3 - 3r^2 - 5r - 2 = 0. Podemos fatorar essa equação como (r + 1)^2 (r - 2) (r + 1) = 0. Portanto, as raízes são r = -1 (multiplicidade 2), r = 2 e r = -1. A solução geral é, portanto, y(t) = c1 e^(-t) + c2 te^(-t) + c3 e^(2t) + c4 e^(-t), onde c1, c2, c3 e c4 são constantes arbitrárias. (b) Para resolver o problema de valor inicial y(3) − y′′ − y′ + y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, primeiro encontramos a solução geral da equação diferencial, que é y(t) = c1 e^(-t) + c2 te^(-t) + c3 e^(2t) + c4 e^(-t). Em seguida, usamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes. Temos: y(0) = c1 + c3 + c4 = 2 y'(0) = -c1 + c2 - c4 = 1 y''(0) = c1 - c2 + 4c3 + c4 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos c1 = 1, c2 = -1, c3 = 1/2 e c4 = 1/2. Portanto, a solução do problema de valor inicial é y(t) = e^(-t) - te^(-t) + (1/2) e^(2t) + (1/2) e^(-t).