Exemplo 2.5.7. Resolver as seguintes equações: a) y′′ − 9y = e2x + 5e3x b) y′′ − y = 3 sen x − e2x + 1

a) Para resolver a equação y′′ − 9y = e2x + 5e3x, primeiro encontramos a equação característica, que é r^2 - 9 = 0. As raízes são r = ±3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh = c1e3x + c2e-3x. Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Como o lado direito da equação é uma combinação linear de e2x e e3x, tentamos uma solução particular da forma yp = Ae2x + Be3x. Substituindo na equação original, obtemos: 4A + 5B = 0 2A + 20B = 1 Resolvendo o sistema, encontramos A = -5/38 e B = 2/19. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1e3x + c2e-3x - (5/38)e2x + (2/19)e3x. b) Para resolver a equação y′′ − y = 3 sen x − e2x + 1, primeiro encontramos a equação característica, que é r^2 - 1 = 0. As raízes são r = ±1. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh = c1e^x + c2e^-x. Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Como o lado direito da equação é uma combinação linear de sen x, e2x e uma constante, tentamos uma solução particular da forma yp = A sen x + Be2x + C. Substituindo na equação original, obtemos: -A sen x + 2Be2x = 3 sen x - e2x + 1 0x + 0x + C = 3 Resolvendo o sistema, encontramos A = -3/10, B = 1/5 e C = 3. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1e^x + c2e^-x - (3/10)sen x + (1/5)e2x + 3.