Exemplo 2.5.8. Resolver as seguintes equações: a) y′′ + 9y = (x2 + 2)e3x b) y′′ − 6y′ + 9y = ex sen x c) y′′ − 2y′ − 3y = x3e5x cos (3x)

a) A equação característica é m² + 9 = 0, que tem raízes complexas m1 = 3i e m2 = -3i. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = c1 cos(3x) + c2 sen(3x). Para encontrar uma solução particular yp(x) da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Assim, temos que yp(x) = Ax^2 e3x + Bx e3x. Substituindo na equação original, encontramos que A = 1/2 e B = -1/6. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = yh(x) + yp(x) = c1 cos(3x) + c2 sen(3x) + (1/2)x^2 e3x - (1/6)x e3x. b) A equação característica é m² - 6m + 9 = 0, que tem uma raiz dupla m = 3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = c1 e^(3x) + c2 xe^(3x). Para encontrar uma solução particular yp(x) da equação não homogênea, podemos usar o método da variação dos parâmetros. Assim, supomos que yp(x) = u1(x) e^(x) sen(x) + u2(x) e^(x) cos(x), onde u1(x) e u2(x) são funções a serem determinadas. Substituindo na equação original, encontramos que u1'(x) = -1/2 e u2'(x) = 1/2. Integrando, temos que u1(x) = -1/2 e^(-x) cos(x) + c1 e^(-x) e u2(x) = 1/2 e^(-x) sen(x) + c2 e^(-x), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = yh(x) + yp(x) = c1 e^(3x) + c2 xe^(3x) - 1/2 e^(-x) cos(x) + 1/2 e^(-x) sen(x). c) A equação característica é m² - 2m - 3 = 0, que tem raízes m1 = -1 e m2 = 3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é yh(x) = c1 e^(-x) + c2 e^(3x). Para encontrar uma solução particular yp(x) da equação não homogênea, podemos usar o método dos coeficientes a determinar. Assim, temos que yp(x) = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) e^(5x) cos(3x) + (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H) e^(5x) sen(3x). Substituindo na equação original, encontramos que A = -1/25, B = 0, C = 1/125, D = 0, E = 0, F = 0, G = 0 e H = -1/625. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(x) = yh(x) + yp(x) = c1 e^(-x) + c2 e^(3x) - (1/25)x^3 e^(5x) cos(3x) - (1/625) e^(5x) sen(3x).