Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial: a) y′′ + y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1. Resp: y = et b) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, ...

a) Para resolver este problema, primeiro encontramos as raízes da equação característica: r^2 + r - 2 = 0. As raízes são r = 1 e r = -2. Portanto, a solução geral é y = c1e^x + c2e^-2x. Usando as condições iniciais, temos: y(0) = c1 + c2 = 1 y'(0) = c1 - 2c2 = 1 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = (3/2)e^2 e c2 = -(1/2)e^0. A solução do problema de valor inicial é y = (3/2)e^x - (1/2). b) Para resolver este problema, primeiro encontramos as raízes da equação característica: r^2 - 6r + 9 = 0. A raiz dupla é r = 3. Portanto, a solução geral é y = (c1 + c2x)e^3x. Usando as condições iniciais, temos: y(0) = c1 = 0 y'(0) = c1 + 3c2 = 2 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = 0 e c2 = 2/3. A solução do problema de valor inicial é y = (2/3)x e^3x. c) Para resolver este problema, primeiro encontramos as raízes da equação característica: r^2 + 1 = 0. As raízes são r = i e r = -i. Portanto, a solução geral é y = c1cos(x) + c2sin(x). Usando as condições iniciais, temos: y(π/3) = c1(1/2) + c2(√3/2) = 2 y'(π/3) = -c1(√3/2) + c2(1/2) = -4 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = (1 + 2√3)/2 e c2 = -(2 - √3)/2. A solução do problema de valor inicial é y = (1 + 2√3)/2 cos(x) - (2 - √3)/2 sen(x). d) Para resolver este problema, primeiro encontramos as raízes da equação característica: r^2 + 3r = 0. As raízes são r = 0 e r = -3. Portanto, a solução geral é y = c1 + c2e^-3t. Usando as condições iniciais, temos: y(0) = c1 = -2 y'(0) = -3c2 = 3 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = -2 e c2 = -1. A solução do problema de valor inicial é y = -1 - e^-3t. e) Para resolver este problema, primeiro encontramos as raízes da equação característica: r^2 + 8r - 9 = 0. As raízes são r = -9 e r = 1. Portanto, a solução geral é y = c1e^-9(x-1) + c2e^x-1. Usando as condições iniciais, temos: y(1) = c1/10 + 9c2/10 = 1 y'(1) = -9c1/10 + c2 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = 9/10 e c2 = 1/10. A solução do problema de valor inicial é y = (9/10)e^-9(x-1) + (1/10)e^x-1. f) Para resolver este problema, primeiro dividimos toda a equação por 9 para obter y'' - (4/3)y' + (4/9)y = 0. Em seguida, encontramos as raízes da equação característica: r^2 - (4/3)r + (4/9) = 0. A raiz dupla é r = 2/3. Portanto, a solução geral é y = (c1 + c2x)e^(2x/3). Usando as condições iniciais, temos: y(0) = c1 = 2 y'(0) = c1/3 + 2c2/3 = -1 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = 2 e c2 = -3/2. A solução do problema de valor inicial é y = 2e^(2x/3) - (7/3)xe^(2x/3). g) Para resolver este problema, primeiro encontramos as raízes da equação característica: r^2 + r + 1.25 = 0. As raízes são r = (-1 ± i√3)/2. Portanto, a solução geral é y = e^(-x/2)(c1cos((√3/2)x) + c2sen((√3/2)x)). Usando as condições iniciais, temos: y(0) = c1 = 3 y'(0) = -c1/2 + (√3/2)c2 = 1 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = 3 e c2 = 2/√3. A solução do problema de valor inicial é y = 3e^(-x/2)cos((√3/2)x) + (5/2)e^(-x/2)sen((√3/2)x).