A lei dos cossenos é válida para os senos? Como é?! É isso mesmo! Veja: é fato bastante conhecido que num triângulo ABC qualquer é válida a lei dos...

A lei dos cossenos é válida para os senos? Como é?! É isso mesmo! Veja: é fato bastante conhecido que num triângulo ABC qualquer é válida a lei dos cossenos, a saber: a2 = b2 + c2 − 2bc cosα b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ Vamos mostrar que essa relação é preservada para os senos dos ângulos internos desse triângulo, ou seja: sen2α = sen2β + sen2γ − 2senβ senγ cosα sen2β = sen2α + sen2γ − 2senα senγ cosβ sen2γ = sen2α + sen2β − 2senα senβ cosγ Com efeito, usando a também conhecida lei dos senos no triângulo ABC temos: 2 sen sen sen a a a R= = = α β γ ou a = 2Rsenα, b = 2R senβ, c = 2R senγ , sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, substituindo em a2 = b2 + c2 − 2bccosα, obtemos sen2α = sen2β + sen2γ − 2senβsenγ cosα. As outras duas igualdades são obtidas de modo análogo. Adaptação do artigo de Carlos A. Gomes