4. Considere o PVI ty′ − (t+ 1)y = 2te−t, y(1) = a, t > 0. Resolva o PVI. Como as soluções se comportam quando t → 0? O comportamento depende da ...

Para resolver o PVI, podemos usar o método de fator integrante. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por e^(t+1): e^(t+1)ty′ − e^(t+1)(t+1)y = 2te^(-t)e^(t+1) Simplificando, temos: d/dt (e^(t+1)y) = 2te Integrando ambos os lados em relação a t, temos: e^(t+1)y = t^2e^t + C Substituindo y(1) = a, temos: ae^2 = e + C Portanto, a solução para o PVI é: y = (t^2 + (a-1)t + 1)e^(-t) Quando t → 0, a solução se comporta como 1 - (a-1)t + O(t^2). O comportamento não depende da escolha do valor inicial a. Para determinar o valor crítico a0, podemos analisar o comportamento da solução quando t → +∞. Como e^(-t) → 0 quando t → +∞, a solução se comporta como uma reta y = (a-1)t + 1. Portanto, se a < 1, a solução tende a -∞ quando t → +∞, enquanto se a > 1, a solução tende a +∞ quando t → +∞. Portanto, o valor crítico é a0 = 1. Podemos confirmar essa análise construindo o campo de direções no GeoGebra.