6. Considere o PVI y′ − 3/2 y = 3t+ 2et, y(0) = y0. Encontre o valor y0 que separa as soluções que crescem positivamente quando t → +∞ das que cr...

Para encontrar o valor de y0 que separa as soluções que crescem positivamente quando t → +∞ das que crescem em módulo, mas permanecem negativas, podemos utilizar o fato de que a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente é yh(t) = c * e^(−3/2t), onde c é uma constante determinada pela condição inicial. Para encontrar a solução particular, podemos utilizar o método da variação das constantes, assumindo que a solução particular é da forma yp(t) = u(t) * e^(−3/2t), onde u(t) é uma função a ser determinada. Substituindo na equação diferencial, temos: u'(t) * e^(−3/2t) = 3t * e^(−3/2t) + 2e^(−t) Podemos integrar ambos os lados da equação para obter: u(t) * e^(−3/2t) = −2/3 * e^(−3/2t) * (t + 2/3) − 2/3 * e^(−t) + C Onde C é uma constante de integração. Podemos determinar C a partir da condição inicial y(0) = y0, que nos dá: y0 = u(0) Substituindo na equação acima, temos: C = y0 Portanto, a solução particular é dada por: yp(t) = −2/3 * (t + 2/3) + y0 * e^(3/2t) − 2/3 * e^(t) A solução geral da equação diferencial é dada por: y(t) = yh(t) + yp(t) = c * e^(−3/2t) − 2/3 * (t + 2/3) + y0 * e^(3/2t) − 2/3 * e^(t) Para encontrar o valor de y0 que separa as soluções que crescem positivamente quando t → +∞ das que crescem em módulo, mas permanecem negativas, podemos observar que a solução particular yp(t) tende a zero quando t → +∞, enquanto a solução homogênea yh(t) tende a zero mais rapidamente. Portanto, a solução geral y(t) tende a y0 * e^(3/2t) quando t → +∞ se y0 > 0, e tende a zero se y0 ≤ 0. Assim, o valor crítico de y0 é aquele que separa as soluções que tendem a zero das que tendem a y0 * e^(3/2t) quando t → +∞. Esse valor crítico é dado por: y0 = 2/3 A solução correspondente a esse valor crítico é dada por: y(t) = c * e^(−3/2t) − 2/3 * (t + 2/3) + 2/3 * e^(3/2t) − 2/3 * e^(t) Essa solução cresce positivamente quando t → +∞.