no quadrado Q = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}. Sejam (X, Y ) as coordenadas desse ponto. Isso significa que a densidade conjunta é f(x, y) = { c se (x,...

1. Para encontrar o valor de c, é necessário integrar a densidade conjunta sobre todo o quadrado Q. Como a área do quadrado é 1, temos: 1 = ∫∫Q f(x,y) dxdy = c ∫∫Q dxdy = c * área(Q) = c Portanto, c = 1. 2. Para encontrar as distribuições marginais, é necessário integrar a densidade conjunta em relação a uma das variáveis e em relação à outra variável. Temos: fX(x) = ∫f(x,y) dy, integrando de -1 + x até 1 - x fY(y) = ∫f(x,y) dx, integrando de -1 + y até 1 - y 3. Para verificar se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, é necessário verificar se a densidade conjunta é igual ao produto das densidades marginais. Se for, as variáveis são independentes. Temos: fX(x) * fY(y) = (∫f(x,y') dy') * (∫f(x',y) dx') = ∫∫f(x,y')f(x',y) dy'dx' Se a última expressão for igual a f(x,y), então as variáveis são independentes. No entanto, como f(x,y) é diferente de zero apenas dentro do quadrado Q, a integral dupla acima deve ser calculada apenas sobre o quadrado Q. Fazendo isso, obtemos: ∫∫Q f(x,y')f(x',y) dy'dx' = ∫∫Q 1 dy'dx' = área(Q) = 1 Como 1 é diferente de f(x,y) dentro do quadrado Q, concluímos que as variáveis aleatórias X e Y não são independentes. 4. Para encontrar a densidade de X dado que Y = 1/2, é necessário calcular a distribuição condicional fX|Y(x|y). Temos: fX|Y(x|y) = f(x,y) / fY(y), para y = 1/2 Para encontrar fY(y), basta integrar a densidade conjunta em relação a x: fY(y) = ∫f(x,y) dx, integrando de -1 + y até 1 - y Substituindo f(x,y) = 1 para (x,y) dentro do quadrado Q e zero fora do quadrado, temos: fY(y) = ∫-1+y¹ 1 dy' + ∫¹1-y 1 dy' = 2(1-y) Substituindo f(x,y) = 1 para (x,y) dentro do quadrado Q e zero fora do quadrado, temos: fX|Y(x|y) = 1 / (2(1-y)), para -1+y ≤ x ≤ 1-y 5. Para encontrar a densidade de X dado que X + Y = 1/2, é necessário calcular a distribuição condicional fX|X+Y(x|x+y). Temos: fX|X+Y(x|x+y) = f(x,y) / fX+Y(x+y), para x+y = 1/2 Para encontrar fX+Y(z), basta integrar a densidade conjunta em relação a x e y: fX+Y(z) = ∫f(x,z-x) dx, integrando de max(0,z-1) até min(1,z) Substituindo f(x,y) = 1 para (x,y) dentro do quadrado Q e zero fora do quadrado, temos: fX+Y(z) = ∫max(0,z-1)¹ min(1,z)¹ 1 dx' = min(z,2-z) Substituindo f(x,y) = 1 para (x,y) dentro do quadrado Q e zero fora do quadrado, temos: fX|X+Y(x|x+y) = 1 / min(x+y,2-x-y), para max(0,z-1) ≤ x ≤ min(1,z) Note que a restrição x+y = 1/2 implica que 0 ≤ z ≤ 1. Portanto, a densidade condicional é: fX|X+Y(x|x+y) = 1 / (2-x-y), para 0 ≤ x+y ≤ 1/2 fX|X+Y(x|x+y) = 0, caso contrário.