A distribuição (densidade) conjunta de X e Y é: f(x, y) = aye−yxe−y, 0 < x <∞, 0 < y <∞. Para que f(x, y) seja realmente a densidade achar o val...

Para que f(x, y) seja realmente a densidade, é necessário que a integral dupla de f(x, y) em todo o espaço seja igual a 1. Assim, temos: 1 = ∫∫f(x, y)dxdy 1 = ∫∫aye^(-yx)e^(-y)dxdy 1 = a∫∫ye^(-y(x+1))dxdy 1 = a∫0^∞∫0^∞ye^(-y(x+1))dxdy 1 = a∫0^∞[-ye^(-y(x+1))/(x+1)]_0^∞ dy 1 = a∫0^∞(y/(x+1)^2)dy 1 = a[-1/(x+1)]_0^∞ 1 = a/(x+1) a = 1/(x+1) Logo, a densidade conjunta é: f(x, y) = (ye^(-yx)e^(-y))/(x+1), 0 < x <∞, 0 < y <∞. Para calcular E[X|Y = y], é necessário calcular a esperança condicional de X dado Y = y. Assim, temos: E[X|Y = y] = ∫xf(x|y)dx Onde f(x|y) é a densidade condicional de X dado Y = y. Para calcular f(x|y), usamos a fórmula: f(x|y) = f(x, y)/f(y) Onde f(y) é a densidade marginal de Y. Para encontrar f(y), integramos f(x, y) em relação a x: f(y) = ∫f(x, y)dx f(y) = ∫(ye^(-yx)e^(-y))/(x+1)dx f(y) = -e^(-y)ln(x+1)|_0^∞ f(y) = -e^(-y)ln(∞+1) + e^(-y)ln(0+1) f(y) = e^(-y) Assim, temos: f(x|y) = (ye^(-yx)e^(-y))/(x+1)e^(-y) f(x|y) = ye^(-yx)/(x+1) Logo, temos: E[X|Y = y] = ∫xf(x|y)dx E[X|Y = y] = ∫x(ye^(-yx)/(x+1))dx E[X|Y = y] = -ye^(-yx)ln(x+1)|_0^∞ E[X|Y = y] = y/(1+y)