Exerćıcio 3. A densidade conjunta de X e Y é: f(x, y) = c(x+ y), x, y ∈ [0, 1]. 1. Achar c. 2. Achar densidades marginais fX(x) e fY (y). 3. Vari...

1. Para encontrar o valor de c, é necessário integrar a função densidade de probabilidade conjunta f(x,y) em relação a x e y, e igualar o resultado a 1, já que a soma total das probabilidades deve ser igual a 1. Assim, temos: ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫c(x+y)dxdy = c∫∫(x+y)dxdy Integrando em relação a x, temos: c∫[0,1]∫[0,1-x](x+y)dydx = c∫[0,1]((1-x)(x+1/2))dx = c(1/6 + 1/2 - 1/6) = c/2 Igualando a integral a 1, temos: c/2 = 1 c = 2 Portanto, a densidade conjunta de X e Y é f(x,y) = 2(x+y), x, y ∈ [0, 1]. 2. Para encontrar as densidades marginais, é necessário integrar a função densidade de probabilidade conjunta em relação à outra variável. Assim, temos: fX(x) = ∫f(x,y)dy = ∫2(x+y)dy = 2xy + y² |[0,1] = 2x + 1 fY(y) = ∫f(x,y)dx = ∫2(x+y)dx = 2x² + 2xy |[0,1] = 2y + 1 Portanto, as densidades marginais são fX(x) = 2x + 1 e fY(y) = 2y + 1. 3. Para verificar se as variáveis X e Y são independentes, é necessário verificar se a densidade conjunta pode ser escrita como o produto das densidades marginais. Assim, temos: fX(x)fY(y) = (2x + 1)(2y + 1) = 4xy + 2x + 2y + 1 No entanto, a densidade conjunta é f(x,y) = 2(x+y), que é diferente da expressão acima. Portanto, as variáveis X e Y não são independentes. 4. Para encontrar E[X|Y=y], é necessário utilizar a definição de esperança condicional: E[X|Y=y] = ∫xf(x|y)dx Para encontrar a densidade condicional f(x|y), é necessário utilizar a fórmula: f(x|y) = f(x,y)/fY(y) Assim, temos: f(x|y) = f(x,y)/fY(y) = (2(x+y))/(2y+1) Substituindo na expressão da esperança condicional, temos: E[X|Y=y] = ∫xf(x|y)dx = ∫x(2(x+y))/(2y+1)dx = (2y+2)/3 Portanto, E[X|Y=y] = (2y+2)/3.