10) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces quadrangulares.

Para determinar o número de vértices de um poliedro convexo, podemos usar a fórmula de Euler, que é: \[ V - E + F = 2 \] onde: - \( V \) é o número de vértices, - \( E \) é o número de arestas, - \( F \) é o número de faces. Primeiro, vamos calcular o número total de faces \( F \): - Faces hexagonais: 8 - Faces octogonais: 6 - Faces quadrangulares: 12 Portanto, \( F = 8 + 6 + 12 = 26 \). Agora, precisamos calcular o número de arestas \( E \). Para isso, vamos contar as arestas de cada tipo de face: - Cada face hexagonal tem 6 arestas, então as 8 faces hexagonais contribuem com \( 8 \times 6 = 48 \) arestas. - Cada face octogonal tem 8 arestas, então as 6 faces octogonais contribuem com \( 6 \times 8 = 48 \) arestas. - Cada face quadrangular tem 4 arestas, então as 12 faces quadrangulares contribuem com \( 12 \times 4 = 48 \) arestas. Somando todas as arestas, temos: \[ 48 + 48 + 48 = 144 \] Como cada aresta é compartilhada por 2 faces, o número total de arestas \( E \) é: \[ E = \frac{144}{2} = 72 \] Agora, substituímos os valores de \( E \) e \( F \) na fórmula de Euler: \[ V - 72 + 26 = 2 \] Resolvendo para \( V \): \[ V - 46 = 2 \] \[ V = 48 \] Portanto, o número de vértices do poliedro convexo é 48.