5.(Caṕıtulo 7) Considere o triângulo retângulo [ABC] cujos catetos são [AB] e [BC]. Admita que se tem AB = 1 e que x designa a amplitude do ân...

Question

5.(Caṕıtulo 7) Considere o triângulo retângulo [ABC] cujos catetos são [AB] e [BC]. Admita que se tem AB = 1 e que x designa a amplitude do ângulo BAC. Mostre que a expressão designatória que representa o peŕımetro do triângulo [ABC] em função da amplitude x é dada por: f(x) = 1 + sin(x) + cos(x) / cos(x), x ∈ ]0, π/2 [

Ed · Answer

Para encontrar a expressão que representa o perímetro do triângulo [ABC] em função da amplitude x, precisamos usar o teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas.

Sabemos que AB = 1 e que o triângulo é retângulo em A, então podemos usar a relação trigonométrica do seno para encontrar BC:

sen(x) = BC/AB
BC = AB * sen(x)
BC = 1 * sen(x)
BC = sen(x)

Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar AC:

AC² = AB² + BC²
AC² = 1² + sen²(x)
AC = √(1 + sen²(x))

O perímetro do triângulo é dado pela soma dos comprimentos dos seus lados:

P = AB + BC + AC
P = 1 + sen(x) + √(1 + sen²(x))

Para simplificar a expressão, podemos usar a relação trigonométrica do cosseno:

cos(x) = AB/AC
cos(x) = 1/√(1 + sen²(x))

Substituindo na expressão do perímetro, temos:

P = 1 + sen(x) + √(1 + sen²(x)) * cos(x) / cos(x)
P = 1 + sen(x) + cos(x)

Portanto, a expressão que representa o perímetro do triângulo [ABC] em função da amplitude x é dada por f(x) = 1 + sen(x) + cos(x), onde x ∈ ]0, π/2 [.

5.(Caṕıtulo 7) Considere o triângulo retângulo [ABC] cujos catetos são [AB] e [BC]. Admita que se tem AB = 1 e que x designa a amplitude do ân...

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