Para determinar a função potencial associada ao campo vetorial \(\vec{F}(x, y) = (1 + ye^{xy}) \cdot \hat{i} + (2y + xe^{xy}) \cdot \hat{j}\), precisamos verificar se a função potencial \(f(x, y)\) satisfaz as condições de que \(\frac{\partial f}{\partial x} = F_1\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = F_2\), onde \(F_1 = 1 + ye^{xy}\) e \(F_2 = 2y + xe^{xy}\). Vamos analisar as alternativas dadas: 1. f(x, y) = x + e^{xy} + y^2 - \(\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + ye^{xy}\) (correto) - \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + xe^{xy}\) (correto) - Esta é uma função potencial válida. 2. f(x, y) = 2x + e^{xy} + y^2 - \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + ye^{xy}\) (incorreto) - Não é uma função potencial válida. 3. f(x, y) = x + 2e^{xy} + y^2 - \(\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 2ye^{xy}\) (incorreto) - Não é uma função potencial válida. 4. f(x, y) = x + e^{xy} + y^2 - Já analisada e é uma função potencial válida. 5. f(x, y) = x + e^{xy} + 2y^2 - \(\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + ye^{xy}\) (correto) - \(\frac{\partial f}{\partial y} = 4y + xe^{xy}\) (incorreto) - Não é uma função potencial válida. 6. f(x, y) = 2x + e^{xy} + 3y^2 - \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + ye^{xy}\) (incorreto) - Não é uma função potencial válida. A única função potencial correta que satisfaz as condições é: f(x, y) = x + e^{xy} + y^2. Portanto, a alternativa correta é a primeira: f(x, y) = x + e^{xy} + y^2.