7. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A = (0, 4), B (2, 3) e C é um ponto qualquer da circunferência x² y² 5+ = . A abscissa do ponto C que...

Para encontrar a abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível, precisamos primeiro encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B. Usando a fórmula da equação da reta, temos: y - y1 = m(x - x1) onde m é a inclinação da reta e (x1, y1) é um ponto na reta. Calculando a inclinação da reta: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = (3 - 4) / (2 - 0) m = -1/2 Substituindo os valores de A na equação da reta: y - 4 = (-1/2)(x - 0) y = (-1/2)x + 4 Agora, precisamos encontrar o ponto C na circunferência que intersecta a reta AB. Substituindo y na equação da circunferência: x² + (-1/2x + 4)² = 5 Simplificando: 5x² - 16x + 39 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: x = 3/5 ou x = 13/5 Agora, precisamos verificar qual dos pontos (3/5, y) ou (13/5, y) na circunferência resulta na menor área do triângulo ABC. Substituindo x = 3/5 na equação da circunferência: (3/5)² + y² - 5 = 0 y² = 16/25 y = ±4/5 Substituindo x = 13/5 na equação da circunferência: (13/5)² + y² - 5 = 0 y² = 336/25 y = ±(4/5)√21 A área do triângulo ABC é dada por: A = |(xB - xA)(yC - yA) - (yB - yA)(xC - xA)| / 2 Substituindo os valores de x e y para cada ponto, temos: Para C = (3/5, 4/5): A = |(2 - 0)(4/5 - 4) - (3 - 4)(3/5 - 0)| / 2 A = 7/5 Para C = (3/5, -4/5): A = |(2 - 0)(-4/5 - 4) - (3 - 4)(3/5 - 0)| / 2 A = 7/5 Para C = (13/5, (4/5)√21): A = |(2 - 0)((4/5)√21 - 4) - (3 - 4)(13/5 - 0)| / 2 A = 3√21 / 5 Para C = (13/5, -(4/5)√21): A = |(2 - 0)(-(4/5)√21 - 4) - (3 - 4)(13/5 - 0)| / 2 A = 3√21 / 5 Portanto, a abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é 3/4, alternativa (d).